復(fù)變函數(shù)

　　起源

　　復(fù)數(shù)的概念起源于求方程的根，在二次、三次代數(shù)方程的求根中就出現(xiàn)了負(fù)數(shù)開(kāi)平方的情況。在很長(zhǎng)時(shí)間里，人們對(duì)這類數(shù)不能理解。但隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展，這類數(shù)的重要性就日益顯現(xiàn)出來(lái)。

　　發(fā)展簡(jiǎn)況

　　復(fù)變函數(shù)論產(chǎn)生于十八世紀(jì)。1774年，歐拉在他的一篇論文中考慮了由復(fù)變函數(shù)的積分導(dǎo)出的兩個(gè)方程。而比他更早時(shí)，法國(guó)數(shù)學(xué)家達(dá)朗貝爾在他的關(guān)于流體力學(xué)的論文中，就已經(jīng)得到了它們。因此，后來(lái)人們提到這兩個(gè)方程，把它們叫做“達(dá)朗貝爾-歐拉方程”。到了十九世紀(jì)，上述兩個(gè)方程在柯西和黎曼研究流體力學(xué)時(shí)，作了更詳細(xì)的研究，所以這兩個(gè)方程也被叫做“柯西-黎曼條件”。

　　復(fù)變函數(shù)論的全面發(fā)展是在十九世紀(jì)，就像微積分的直接擴(kuò)展統(tǒng)治了十八世紀(jì)的數(shù)學(xué)那樣，復(fù)變函數(shù)這個(gè)新的分支統(tǒng)治了十九世紀(jì)的數(shù)學(xué)。當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)家公認(rèn)復(fù)變函數(shù)論是最豐饒的數(shù)學(xué)分支，并且稱為這個(gè)世紀(jì)的數(shù)學(xué)享受，也有人稱贊它是抽象科學(xué)中最和諧的理論之一。

　　為復(fù)變函數(shù)論的創(chuàng)建做了最早期工作的是歐拉、達(dá)朗貝爾，法國(guó)的拉普拉斯也隨后研究過(guò)復(fù)變函數(shù)的積分，他們都是創(chuàng)建這門學(xué)科的先驅(qū)。

　　后來(lái)為這門學(xué)科的發(fā)展作了大量奠基工作的要算是柯西、黎曼和德國(guó)數(shù)學(xué)家維爾斯特拉斯了。二十世紀(jì)初，復(fù)變函數(shù)論又有了很大的進(jìn)展，維爾斯特拉斯的學(xué)生，瑞典數(shù)學(xué)家列夫勒、法國(guó)數(shù)學(xué)家龐加萊、阿達(dá)瑪?shù)榷甲髁舜罅康难芯抗ぷ?，開(kāi)拓了復(fù)變函數(shù)論更廣闊的研究領(lǐng)域，為這門學(xué)科的發(fā)展做出了貢獻(xiàn)。

　　復(fù)變函數(shù)論在應(yīng)用方面，涉及的面很廣，有很多復(fù)雜的計(jì)算都是用它來(lái)解決的。比如物理學(xué)上有很多不同的穩(wěn)定平面場(chǎng)，所謂場(chǎng)就是每點(diǎn)對(duì)應(yīng)有物理量的一個(gè)區(qū)域，對(duì)它們的計(jì)算就是通過(guò)復(fù)變函數(shù)來(lái)解決的。

　　比如俄國(guó)的茹柯夫斯基在設(shè)計(jì)飛機(jī)的時(shí)候，就用復(fù)變函數(shù)論解決了飛機(jī)機(jī)翼的結(jié)構(gòu)問(wèn)題，他在運(yùn)用復(fù)變函數(shù)論解決流體力學(xué)和航空力學(xué)方面的問(wèn)題上也做出了貢獻(xiàn)。

　　復(fù)變函數(shù)論不但在其他學(xué)科得到了廣泛的應(yīng)用，而且在數(shù)學(xué)領(lǐng)域的許多分支也都應(yīng)用了它的理論。它已經(jīng)深入到微分方程、積分方程、概率論和數(shù)論等學(xué)科，對(duì)它們的發(fā)展很有影響。

　　內(nèi)容

　　復(fù)變函數(shù)論主要包括單值解析函數(shù)理論、黎曼曲面理論、幾何函數(shù)論、留數(shù)理論、廣義解析函數(shù)等方面的內(nèi)容。

　　如果當(dāng)函數(shù)的變量取某一定值的時(shí)候，函數(shù)就有一個(gè)唯一確定的值，那么這個(gè)函數(shù)解就叫做單值解析函數(shù)，多項(xiàng)式就是這樣的函數(shù)。

　　復(fù)變函數(shù)也研究多值函數(shù)，黎曼曲面理論是研究多值函數(shù)的主要工具。由許多層面安放在一起而構(gòu)成的一種曲面叫做黎曼曲面。利用這種曲面，可以使多值函數(shù)的單值枝和枝點(diǎn)概念在幾何上有非常直觀的表示和說(shuō)明。對(duì)于某一個(gè)多值函數(shù)，如果能作出它的黎曼曲面，那么，函數(shù)在黎曼曲面上就變成單值函數(shù)。

　　黎曼曲面理論是復(fù)變函數(shù)域和幾何間的一座橋梁，能夠使我們把比較深?yuàn)W的函數(shù)的解析性質(zhì)和幾何聯(lián)系起來(lái)?，F(xiàn)時(shí)，關(guān)于黎曼曲面的研究還對(duì)另一門數(shù)學(xué)分支拓?fù)鋵W(xué)有比較大的影響，逐漸地趨向于討論它的拓?fù)湫再|(zhì)。

　　復(fù)變函數(shù)論中用幾何方法來(lái)說(shuō)明、解決問(wèn)題的內(nèi)容，一般叫做幾何函數(shù)論，復(fù)變函數(shù)可以通過(guò)共形映象理論為它的性質(zhì)提供幾何說(shuō)明。導(dǎo)數(shù)處處不是零的解析函數(shù)所實(shí)現(xiàn)的映像就都是共形映象，共形映像也叫做保角變換。共形映象在流體力學(xué)、空氣動(dòng)力學(xué)、彈性理論、靜電場(chǎng) 、電路理論等方面都得到了廣泛的應(yīng)用。

　　留數(shù)理論是復(fù)變函數(shù)論中一個(gè)重要的理論。留數(shù)也叫做殘數(shù)，它的定義比較復(fù)雜。應(yīng)用留數(shù)理論對(duì)于復(fù)變函數(shù)積分的計(jì)算比起線積分計(jì)算方便。計(jì)算實(shí)變函數(shù)定積分，可以化為復(fù)變函數(shù)沿閉回路曲線的積分后，再用留數(shù)基本定理化為被積分函數(shù)在閉合回路曲線內(nèi)部孤立奇點(diǎn)上求留數(shù)的計(jì)算，當(dāng)奇點(diǎn)是極點(diǎn)的時(shí)候，計(jì)算更加簡(jiǎn)潔。

　　把單值解析函數(shù)的一些條件適當(dāng)?shù)馗淖兒脱a(bǔ)充，以滿足實(shí)際研究工作的需要，這種經(jīng)過(guò)改變的解析函數(shù)叫做廣義解析函數(shù)。廣義解析函數(shù)所代表的幾何圖形的變化叫做擬保角變換。解析函數(shù)的一些基本性質(zhì)，只要稍加改變后，同樣適用于廣義解析函數(shù)。

　　廣義解析函數(shù)的應(yīng)用范圍很廣泛，不但應(yīng)用在流體力學(xué)的研究方面，而且象薄殼理論這樣的固體力學(xué)部門也在應(yīng)用。因此，這些年來(lái)這方面的理論發(fā)展十分迅速。

　　從柯西算起，復(fù)變函數(shù)論已有170多年的歷史了。它以其完美的理論與精湛的技巧成為數(shù)學(xué)的一個(gè)重要組成部分。它曾經(jīng)推動(dòng)過(guò)一些學(xué)科的發(fā)展，并且常常作為一個(gè)有力的工具被應(yīng)用在實(shí)際問(wèn)題中，它的基礎(chǔ)內(nèi)容已成為理工科很多專業(yè)的必修課程。復(fù)變函數(shù)論中仍然有不少尚待研究的課題，所以它將繼續(xù)向前發(fā)展，并將取得更多應(yīng)用。

　　定義

　　復(fù)變數(shù)復(fù)值函數(shù)的簡(jiǎn)稱。設(shè)A是一個(gè)復(fù)數(shù)集,如果對(duì)A中的任一復(fù)數(shù)z，通過(guò)一個(gè)確定的規(guī)則有一個(gè)或若干個(gè)復(fù)數(shù)w與之對(duì)應(yīng)，就說(shuō)在復(fù)數(shù)集A上定義了一個(gè)復(fù)變函數(shù)，記為w=ont color="#333333" face="Arial">ƒ(z)。這個(gè)記號(hào)表示,ƒ(z)是z通過(guò)規(guī)則ƒ而確定的復(fù)數(shù)。如果記z=x+iy,w=u+iv,那么復(fù)變函數(shù)w=ƒ(z)可分解為w=u(x,y)+iv(x,y);所以一個(gè)復(fù)變函數(shù)w=ƒ(z)就對(duì)應(yīng)著一對(duì)兩個(gè)實(shí)變數(shù)的實(shí)值函數(shù)。除非有特殊的說(shuō)明,函數(shù)一般指單值函數(shù),即對(duì)A中的每一z，有且僅有一個(gè)w與之對(duì)應(yīng)。例如，z2是復(fù)平面上的復(fù)變函數(shù)。但√z在復(fù)平面上并非單值，而是多值函數(shù)。對(duì)這種多值函數(shù)要有特殊的處理方法(見(jiàn)解析開(kāi)拓、黎曼曲面)。

　　對(duì)于z∈A,ƒ(z)的全體所成的數(shù)集稱為A關(guān)于ƒ的像，記為ƒ(A)。函數(shù)ƒ規(guī)定了A與ƒ(A)之間的一個(gè)映射。例如在w=z2的映射下，z平面上的射線argz=θ與w平面上的射線argw=2θ對(duì)應(yīng);如果ƒ(A)∈A*，稱ƒ把A映入A*。如果ƒ(A)=A*，則稱ƒ把A映成A*，此時(shí)稱A為A*的原像。對(duì)于把A映成A*的映射ƒ，如果z1與z2相異必導(dǎo)致ƒ(z1)與ƒ(z2)也相異，則稱ƒ是一對(duì)一的。在一對(duì)一的映射下，對(duì)A*上的任一w，A上必有一個(gè)z與之對(duì)應(yīng)，稱此映射為ƒ的反函數(shù)，記為

　　z=ƒ-1(w)

　　設(shè)ƒ(z)是A上的復(fù)變函數(shù),α是A中一點(diǎn)。如果對(duì)任一正數(shù)ε，都有正數(shù)δ，當(dāng)z∈A且|z-α|<δ時(shí),|ƒ(z)-ƒ(α)|<ε恒成立，則稱ƒ(z)在α處是連續(xù)的。如果在A上處處連續(xù),則稱為A上的連續(xù)函數(shù)或連續(xù)映射。設(shè)ƒ是緊集A上的連續(xù)函數(shù)，則對(duì)任一正數(shù)ε，必存在不依賴自變數(shù)z的正數(shù)δ,當(dāng)z1，z2∈A且|z1-z2<δ時(shí)|ƒ(z1)-ƒ(z2)|<ε恒成立。這個(gè)性質(zhì)稱為ƒ(z)在A上的一致連續(xù)性或均勻連續(xù)性。

　　設(shè)ƒ(z)是平面開(kāi)集D內(nèi)的復(fù)變函數(shù)。對(duì)于z∈D,如果極限存在且有限,則稱ƒ(z)在z處是可導(dǎo)的，此極限值稱為ƒ(z)在z處的導(dǎo)數(shù),記為ƒ┡(z)。這是實(shí)變函數(shù)導(dǎo)數(shù)概念的推廣，但復(fù)變函數(shù)導(dǎo)數(shù)的存在卻蘊(yùn)含著豐富的內(nèi)容。這是因?yàn)閦+h是z的二維鄰域內(nèi)的任意一點(diǎn)，極限的存在條件比起一維的實(shí)數(shù)情形要強(qiáng)得多。一個(gè)復(fù)變函數(shù)如在z的某一鄰域內(nèi)處處有導(dǎo)數(shù)，則該函數(shù)必在z處有高階導(dǎo)數(shù),而且可以展成一個(gè)收斂的冪級(jí)數(shù)(見(jiàn)解析函數(shù))。所以復(fù)變函數(shù)導(dǎo)數(shù)的存在，對(duì)函數(shù)本身的結(jié)構(gòu)有重大影響，而這些結(jié)果的研究，構(gòu)成了一門學(xué)科──復(fù)變函數(shù)論。

　　極限與連續(xù)性

　　設(shè)函數(shù) w = f(z) 在集 E 上確定, z0 為 E 之聚點(diǎn), α 為一復(fù)常數(shù). 如果 ?ε 0, ?δ > 0, 當(dāng) z ∈ E 且 0 < |z - z0| < δ 時(shí), 有

　　| f(z) - α | < ε

　　則稱當(dāng) z 趨于 z0 時(shí), f(z) 有極限 α. 記作

　　lim f(z) (z→z0) = α .

　　復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

　　設(shè) f(z) 是在區(qū)域 D 內(nèi)確定的單值函數(shù), 并且 z0 ∈ D, 如果lim (f(z)-f(z0))/(z-z0) (z→z0)

　　存在且等于有限復(fù)數(shù) α. 則稱f(z) 在 z0 點(diǎn)可導(dǎo)或者可微, 或稱有導(dǎo)數(shù) α, 記作 f‘(z0).